ポップスターの重力の大きさ（一訂版）

地球上で十分な高さから物体を落下させると、物体は重力と空気抵抗を受けながら次第に加速してゆき、速度がある値で落ち着いてあとは等速で落下をします。最後に等速になるのは、速さがますにつれて大きくなる空気抵抗力が重力とつり合うからで、この釣り合いから空気抵抗力と重力に関する等式が成り立ちます。
また、カービィシリーズのゲームの世界でカービィを高い所から落下させると、やはりカービィもある程度までは加速しながら落ちてゆき、十分な時間が経過した後には等速運動を開始します。従って、カービィシリーズのゲームの世界での落下運動は、地球における落下運動とさほど変わらないものだと見なすことができ、落下速度vがさほど大きくない範囲では次の運動方程式が成り立ちます。
ma = mg - kv
無論mはカービィの質量、aはカービィの加速度、gはポップスターの重力加速度、kはカービィの空気抵抗率です。（少し難しい話をすると、カービィには一応手足がついていて完全な球体ではないので、空気抵抗力が速度の一乗に比例する項と二乗に比例する項とが出てきてしまう可能性も考えられるんですが、速度vもあまり大きくなりませんし、ここでは話を簡単にするために後者の項は無視をして話を進めます^^;）
───ここからは更に難しい話になりますが、計算過程は読み飛ばして結果だけ見てくださっても結構です。・・・と言っても、結果の式を理解するのにも結構な知識が必要とはなりますが・・・^^;（つまんねー
───ここでカービィが落下し始めてから経過した時間をtとすると、a=dv/dtですから、先ほどの等式は関数vに関する微分方程式と言うことになります。ここで、
v - (mg/k) = V
と置くと先ほどの微分方程式は、
dV/dt = -kV/m
となりますから、初期条件はt=0⇔v=0なので、これを変数分離形の微分方程式として解くと、
v = (mg/k)(1 - exp(-kt/m))
が得られます。
然し、ゲームの画面からカービィの瞬間の速度を測定するのは困難ですから、この式の両辺をtで0からtまで積分し、
x = (mg/k)(t + (m/k)(exp(-kt/m) - 1))
を得ます。この時カービィの終速度（落下運動の最後、速さが一定になった時の落下速度）をuとすると、
x = u(t + (u/g)(exp(-gt/u) - 1))
と、gを含んだ方程式が得られます。この式が今回の結論となる式です。
・・・今回ばかりははなっから難しい式を登場させてしまったので、『gに関する方程式が得られた、後はそこに実際の値を代入してgを求めるだけだ』、ということだけを呑み込んで頂ければ結構です^^;

さて、式が手に入ったので後は様々なゲームにおいて、『カービィの終速度』と『ある高さから落とした時の落下にかかる時間』を計測すれば、それぞれのゲームにおけるポップスターの重力加速度が求まります。
つまり、終速度がu[m/s]で、ある高さx[m]から落とした時の落下時間がt[s]ならばx = u(t + (u/g)(exp(-gt/u) - 1))ですから、ここにx、t、uの具体的な値を代入してやれば残る未知数はg[m/s^2]のみで、どうにかして近似値を求めることが出来るだろうと言うことです。
以下にカービィシリーズの主なゲームで測定した、x、t、uの値と、そこから求まるgの近似値を記しておきます。

タイトル→	1	2	3	64	SDX	夢デラ	鏡
u[m/s]	1.50	1.86	2.91	2.27	1.76	1.87	1.88
x[m],t[s]	2.4,1.80	2.2,1.45	2.8,1.21	1.8,0.90	6.0,3.50	5.2,2.95	2.2,1.23
g[m/s]	7.50	6.89	11.7	21.1	19.4	10.9	32.1

見て分かる通り、タイトルは分かる範囲で略記しています。また、この表に入っていないタイトルは、『測定が困難・不可能か、あるいはデータに意味がないと思われるタイトル』ということになります。（ただしＦＣ版夢の泉だけは、測定も可能でデータにも信頼性があるのですが、管理人が現在このソフトを紛失中と言う、もの凄い個人的な理由によるです^^;笑）
・・・見事にタイトルごとにgの値のばらけること（笑）。然し、逆にgの値がばらけた方が、うまく説明がつきます。
というのも、ポップスターはあんな星の形をしているだけに、場所によって重力加速度が大幅に違うと考えられるからです。差がひどい個所では、中心からの距離が倍くらい違いますが、中心からの距離が半分になれば（単純計算で）重力加速度は4倍にもなりますから、上の表での異常なばらつきはこの『地域による違い』という風に解釈することが出来ます。
さて、上の表にあるgの値から平均値を求めると、ポップスター地表上での重力加速度の平均値は、15.7m/s^2（＝1.60G）ということができます。
・・・げげっ、地球の約1.6倍！！ポップスター、実はそんなに重力の大きな星だったんですね^^;
（実はかなり昔にほしかすは、『ポップスターの重力は0.48Gだ』などと口頭で発表した事があるんですが、一体どんな計算間違えをしたり式の立て間違えをしたら、こんなにも差のある結果が出るんでしょうね^^;笑。ともあれ、今回の結果の方がちゃんとした式に基づいています。）

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