『惑星』ポップスターの大きさのおおまかな計算
以前ほしかすは、ポップスターの質量と地表付近での平均重力加速度に関して方程式を立ててポップスターの大きさが求められるかも知れないと言う内容のレポートを書いた事があります（かびるぽリニューアルの際に消してしまいましたがね^^;）
当時は積分ができないだとか、ポップスターの形を表す（厳密な）方程式がわからないから式が立てられないだとか、いろんなわがまま言って結局続きを書きませんでした。。。
───そこで今回は、ほしかす自身新たな知識と経験を導入し、更にポップスターの形を（厳密ではなく）近似的に表すことにより、多少無理矢理ですが計算を可能にしてみました。
そのため今回のレポートが与える結論はある程度近似的なものです。もはや求めているのは『ポップスターの大きさ』というよりは『地表付近の平均重力が1.6Gで☆の形をしている惑星の大きさ』という感じですが、割と面白い結論になりました（更に言えばこの研究自体長年俺が取り組んできた努力の集大成な）ので書き留めておきます。
とても長いレポートですので、レポートを3つの部分にわけます。
1.どのようにして大きさを求めるか[導入]
2.どのように式を解くか[計算]
3.ポップスターの大きさは・・・？[結論]
各リンクをクリックするとその項の頭に飛びます。見出しは無しでいきなり本文から始まります。
・・・前もってお断りしておきますが、今回のレポートは『2.どのように式を解くか[計算]』が半端ない難しさを誇っています。計算の準備段階ですら三角比などの高等数学幾何を余裕で使う上、いざ本番の計算となると大学数学の『解析学』の技術を必要とします。数学教育界の名著『大学への数学 数III&C』の問題が解けるくらいの数学青年ならば高校生でもなんとか理解できるかな、と言ったレベルです。今回のレポートに難易度五つ星を付けているのひとえにそういう理由です^^;
なのでそういう描写の苦手な方は（なんか18禁サイトの入場制限みたいだ）、1番と3番だけお読みになることをお勧めします。それだけでも楽しめるように作っていくつもりですので。。。；
まずいかにしてポップスターの大きさを求めるかを話します。
まず話を簡単にするために、『ポップスターは太陽系の惑星となんら変わりない構造を持った天体、「単に形が星型なだけの惑星」である』とします。
更に計算を簡単にするために『ポップスターの質量は全てその中心に集中しているものとして計算する』とします（これは定石ですね）。
ほしかすは以前（レポート14で）ポップスターの地表付近での平均重力加速度を求めたことがあります。その時求めた値は、g=15.7[m/s^2]、約1.60Gとのことでした。
そもそも我々の住む太陽系にある惑星も、星によって重力が違いますね。星が違うんだから当たり前と言えば当たり前ですかね^^;
具体的に星の特徴を決める要素で、星の『大きさ』、『重さ（質量）』、更にポップスターを考慮するなら星の『形』、以上の3つが地表付近の平均重力を決める要素となります（普通惑星はほぼ完全な球体ですから形なんていちいち考えませんけどね）。
───ところで『大きさ』『質量』『形』から『地表付近の平均重力』が求まるのならば、『質量』『形』だけが分かっている状態で尚且つ『地表付近の平均重力』が分かる場合、3つの特徴のうち残り1つの『大きさ』も穴埋めパズル形式で求められるはず！という事が考えられますね（いわゆる「方程式」の考え方ですね）。
今回はこの考え方でポップスターの大きさを求めます。
計算の前に、ポップスターの形と質量について考えましょう。
形については様々なゲームで画像が出ていますが、とくに『星のカービィ64』のステージセレクト画面ではポップスターの形が3Dでよく観察できます。
それで見る限りポップスターの形は、直感的には『真正面から見ると星の形をしていて、真横から見ると凸レンズのように中央部が膨らんだ、滑らかな丸っこい立体』であると言えます。が、実際に計算をするに当たっては、これをもっと図形的に表現しなければなりません。
・・・然しコレ、厳密性を追い求めると計算が殆ど不可能に近いです^^; 今回の計算をするには、たとえばグラフをxとyの式で表すように、ポップスターの表面（更に言うと『曲面』）を式で表さなきゃイケナイのですが、今言ったようにポップスターの形って凄く直感的な形しているので、この形を（更に言うとこの『曲面』を）式で表すことが出来ないんです；
そこで今回はポップスターの形を近似的に表し、あくまで近似的に計算を進めることとします。
そのために、ポップスターの形を以下のようにおおまかに定義しなおしましょう。
〜ポップスターの形〜
１：まず球体がある。
２：円錐の側面（工事現場のコーンを想像して頂ければ^^）を5つ、底の円周が球体に密着するようにくっつける。
３：5つの円錐は球体をぐるりと囲むように（具体的に言うと円錐の頂点から球面に下ろした垂線の足５つが球体の一つの大円の上に並んでいる）隙間なく5つ並んでいる。
これで大体ポップスターらしく見えると思います。
↑図：定義されたポップスターの形↑
この形において（球体部の）中心から（円錐の）先端までの長さをAとします。
これによりポップスターの『大きさ』と『形』が決まったことになり、更に『質量』さえ分かれば計算上重力加速度が求まります。このときAを含んだ形で重力加速度が求まるので、実際の重力加速度の値と比べてAが求まります。
さてポップスターの質量ですが、せっかく『形』がわかる状況が作り出せたので、体積（もちろんここにも未知数Aが含まれますね）から質量を求めておこうと思います。即ちポップスターの平均密度をdとし体積をVとすればポップスターの質量はd・Vです。
他の惑星を見てみますと、地球くらいの大きさの惑星の平均密度はだいたい5500kg/m^3弱、それより小さめの惑星を見てみても4500前後から5000弱程度あります。ここでは仮にポップスターの平均密度が5500kg/m^3であるとして概算をしてみることにしましょう。
これでポップスターの『（未知数Aを含んだ）大きさ』『（未知数Aを含んだ）質量』『形』がわかったことになるので、これに重力加速度を合わせ、いよいよ計算で未知数Aを逆算したいと思います^^
次にいよいよ計算過程です。
先ほどから言っていますが、未知数Aを含んだ『大きさ』『質量』『形』から重力加速度を計算し、これをレポート14で求めた地表付近の平均重力加速度15.7m/s^2という値と比較し、Aを求めます。
・・・それで、ここでは『大きさ』『質量』『形』からポップスターの平均重力加速度を求める計算ですが。。。予想以上に難しく、長い計算過程です^^;
ここにずらずらと書き連ねるとキリがないですので、別ファイルに計算過程を書いておきます。
未知数Aから平均重力加速度を計算する過程を書いたファイルは、こちらから〜。
さて前項の別ファイルにおきまして、ポップスターの平均重力加速度がAを含んだ形で計算されました。
この値を用い、Excelのソルバー機能でAの値を求めさせてみますと、A=約24400kmという値が手に入ります（有効桁数三桁）。これが今回の結論ですねー^^
因みに真ん中の球体部の半径は約9330kmで、球体部における重力は約23.7m/s^2（=2.42G）、円錐部の先端における重力は約3.46m/s^2（=0.353G）。これで大体全体の平均重力が15.7m/s^2になります。
・・・っていうか、でかいですね、ポップスター^^;（笑）。真ん中の球体部だけですら他の地球型惑星に例が無いくらいの大きさなので、正直これが惑星として存在し得るのかどうかすらほしかすはわかりませんが。。。
因みにポップスターの総質量はM=3.09×1025kgとして計算したことになります。
因みに諸量およびソルバー機能を用いAを求める過程を示した計算ファイルはこちら。
今回の結果はもちろん正しいものとは限りません。
近似された形を使っての計算ですし、そもそも15.7m/s^2というポップスターの平均重力加速度の値すらかなり適当な統計に基づいています（つまり重みの無い平均値ということ）。
ですので今回の値を信じるも信じないも自由ですが・・・実は今回の近似計算結果、何だか変なことがあるんですよね^^;
それはカビルポNo.14の重力加速度の研究。いろんなカービィゲームのタイトルの重力加速度の値がずらずら並んでいるのですが・・・ここで注目するのは鏡の大迷宮。重力加速度g=32.1m/s^2。そう、この値は今回求めたポップスターの球部における重力加速度を上回っています。
重力加速度はもちろん星の中心に近づくほど大きくなりますが、球部の表面はポップスターの地表上で星の中心にもっとも近い点。つまり単純に考えれば重力加速度は23.7m/s^2を越えることはないのです。
因みにポップスターの平均密度を5500kg/m^3以外の値にしてもこの23.7m/s^2と言う値は殆ど変わりません。そこで考えられる可能性は、(1)『鏡の大迷宮』の舞台の殆どは実はポップスターの地中で行われていたということか、或いは(2)『鏡の大迷宮』の舞台の周辺だけ密度が非常に高いか。
(1)は・・・何だか怪しいですよね（笑）。鏡の世界はプププランドの上空にあるらしいということはゲームのオープニングデモで言われてますしね。
(2)についてですが、今回の研究では簡単にポップスターの密度は一様と言うことで仮定をしましたが実際にはそうでない可能性もあるわけです。密度のばらつきがあれば各場所で重力もばらつき、今回の計算よりも大きな重力加速度を記録する地域があっても不思議ではないわけです。・・・が、さすがに23.7m/s^2という計算結果に対して32.1m/s^2という鏡の大迷宮の舞台の重力加速度はあまりに大きすぎる気もします^^;
いっそ、鏡の大迷宮の舞台はポップスターじゃないかも知れませんね（ぇ
結論。
ポップスターの大きさは、中心から地表で一番遠い先端までで約24400km、地表で一番近い点まで約9330km。地表付近の重力加速度は3.46m/s^2（0.353G）以上、23.7m/s^2（2.42G）以下。
以上のような驚くべき結果を以て、今回のレポートを終わりたいと思います。
↑ポップスターと諸惑星の大きさの比較（でけー）↑
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